1、什么是运筹优化

运筹学（Operations Research）作为数学、计算机科学、管理学的交叉学科，最早起源于一战中的防空作战系统，由钱学森先生引入中国，最开始的用途是优化航空／军工等领域。如今广泛应用在企业的生产、运营、物流环节，通过算法指导和辅助人类管理者进行决策。在本博客中，我们将运筹优化概括为，通过求解一个最优化问题，在满足约束的条件下，最小化完成某件事所花费的成本。最优化问题常描述为一个数学规划问题，根据决策变量是连续或离散，可以分为两类：连续最优化问题与组合优化。

连续最优化问题的标准形式是：

这里x是决策变量，f(x)是目标函数，g(x)是不等式约束条件，h(x)是等式约束条件，且有m=p=0。若有m=p=0，则问题转化为无约束优化问题。函数f,g,h可以是线性或非线性，经典的求解算法有：牛顿法、梯度下降法、共轭法等等。

而当决策变量取值是（或部分是）整数，则是离散优化问题，常称为组合优化（Combinatorial Optimization），是运筹优化的一个重要分支，其标准形式是：

而当决策变量取值是（或部分是）整数，则是离散优化问题，常称为组合优化（Combinatorial Optimization），是运筹优化的一个重要分支，其标准形式是：

一般描述为混合整数规划（mixed integer programming，MIP），所有的参数(cj,dk,aij,gik,bi)取值是任意实数，只考虑线性表达式。$$m$$是约束条件的数量，$$n$$是连续变量数，$$p$$是整数变量数。若n=0则上述MIP转化为纯整数规划，若$$p=0$$则上述MIP转化为线性规划；特别的，若yk∈{0，1}，全称量词k，则转化为二元（binary）规划问题。组合优化问题（如资源调度、生产排产、路径优化、运营排班等）是企业经营决策所面临的最常见的优化问题类型，覆盖商业决策优化的大部分流程，因此也是运筹学的主要研究对象之一。从航班和工厂的调度、金融资产配置、仓库货物存储到运输路线的设计，很多都可以建模成组合优化问题。本文讨论的对象是组合优化问题。

2、常见的组合优化问题及其求解方法

组合优化问题的离散特性为问题求解引入了特别的挑战，因为求解空间是随问题规模呈指数级增长的，其中有不少是NP-complete的。也就是说目前还找不到多项式时间复杂度的算法。NP-complete问题有很多，如经典的satisfiability（SAT）问题，minimum vertex cover（MVC）问题，max cut（MC）问题等等。它们之间可以在多项式复杂度内相互归约，也就是说其中一个被证明有多项式复杂度解法的话，所有的都有多项式复杂度解法。

2.1 常见的组合优化问题

NP-complete问题中最经典的问题之一要属旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP），它是车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP）的一个特例。其迷人之处可能就在于看似描述很简单，日常生活中可能还常用到，但想要找到通用的高效解法却发现非常难。其可行解是所有点的全排列，随着点数的增加，会产生组合爆炸，暴力求解的复杂度O(n!)。问题描述为由n个城市组成的完全图，两个城市间有整数代价；有一个旅行商要走遍所有城市，每个城市只走一次且最后回到原点（即Hamilton回路），求所有城市的访问路径的顺序，且该路径的代价和最小。

很多时候对于中大规模TSP，尚无找到最优解的有效算法，其能找到的最好解与真正最优解的距离称为optimality gap。这也是评估很多TSP算法的重要指标，用来说明它的解接近最优的程度。自被提出后的几十年里，该问题在组合优化领域被反复地研究，从而衍生出基于精确算法、近似算法、启发式算法几大类成熟的方法。TSP问题在交通运输、电路板线路设计、物流配送等场景有着广泛的应用。

组合优化中的另一经典问题是车辆路径规划问题（Vehicle Routing Problem, VRP），描述为一定数量的客户，各自有不同数量的货物需求，从仓库向客户提供货物，由一个车队负责分送。需要组织适当的分配方案和行车路线，目标是使得客户的需求得到满足，并在一定的约束（时间窗、装载率）下，达到诸如路程最短、成本最小、耗费时间最少等目标。一个简单的有着16个客户（编号为1-16）、1个仓库（编号为0）的示意图如下所示，共需要4辆车完成配送（以不同颜色标识），每辆车服务4个客户，所有车均从仓库出发，服务完所有的客户之后，再返回仓库。